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89是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)

2021-11-12 10:53:51文/董玉瑩

89在質(zhì)數(shù)表中,當然是質(zhì)數(shù)。質(zhì)數(shù)是只能被1和它本身整除的自然數(shù),如2、3、5、7、11等等。質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無限的。如果一個自然數(shù)不僅能被1和它本身整除,還能被別的自然數(shù)整除,就叫合數(shù)。合數(shù)的個數(shù)也是無限的。

89是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)

質(zhì)數(shù)性質(zhì)

質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無窮的。歐幾里得的《幾何原本》中有一個經(jīng)典的證明。它使用了證明常用的方法:反證法。具體證明如下:假設(shè)質(zhì)數(shù)只有有限的n個,從小到大依次排列為p1,p2,……,pn,設(shè)N=p1×p2×……×pn,那么,是素數(shù)或者不是素數(shù)。

如果為素數(shù),則要大于p1,p2,……,pn,所以它不在那些假設(shè)的素數(shù)集合中。

1、如果為合數(shù),因為任何一個合數(shù)都可以分解為幾個素數(shù)的積;而N和N+1的最大公約數(shù)是1,所以不可能被p1,p2,……,pn整除,所以該合數(shù)分解得到的素因數(shù)肯定不在假設(shè)的素數(shù)集合中。因此無論該數(shù)是素數(shù)還是合數(shù),都意味著在假設(shè)的有限個素數(shù)之外還存在著其他素數(shù)。所以原先的假設(shè)不成立。也就是說,素數(shù)有無窮多個。

2、其他數(shù)學家給出了一些不同的證明。歐拉利用黎曼函數(shù)證明了全部素數(shù)的倒數(shù)之和是發(fā)散的,恩斯特·庫默的證明更為簡潔,哈里·弗斯滕伯格則用拓撲學加以證明。

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